浮点数的计算机表示（IEEE 754），由 UCB 数学教授 William Kahan 主要起草。后者也因其卓越贡献于1989年获得图灵奖。计算机组成原理与汇编语言这两门课均对该内容有所讲解。与课程中直接抛出公式与概念不同，我想首先与各位探讨”科学计数法”这个概念，进而讨论设计二进制的科学计数法需要涉及到哪些元素。接着，我们讨论如何在内存上表达这个方案。最后讨论计算机的具体实现。

科学计数法

我们都了解科学计数法。科学计数法的精妙之处在于，其将”量级”与”数值”两个信息拆分，让使用者对这两个信息更加明确。

如上，我们可以将任何有理数拆分成 的形式。值得注意的是：

• 的取值范围是
  
  
• 一定是一个整数
  

对于任何有理数，我们都可以用两个范围狭小（规则明确）的数字 B 与 C 来表示。

此外，我们知道，十进制只不过是记录数字大小的一种方式而已。历史上出现过的二进制、三进制、二十进制，都可以毫无障碍地表示数字，并且还有其独具的数学特性。

那么，二进制可以用科学计数法表示吗？答案当然是肯定的。

二进制的科学计数法

注意，这里下标2，代表这个数是二进制。 同理， 对应十进制中的数字 。

通过观察十进制的科学计数法形式，对于二进制，我们自然可以做出如下约定：

• 的取值范围是
  
  
• 一定是一个整数
  

这里我们补充说明一下，二进制的小数是什么样的。对于 这个十进制数，如果要将其转换为二进制：

• 将其整数部分与小树部分分开；
  
• 对于整数部分
  5 ，我们使用”不断除以2取余数”的方法，得到
  101 ;
  
• 对于小数部分
  .25 ，我们使用”不断乘以2取整数”的方法，得到
  .01 。
  

关于进制转换的具体方法与背后的数学原理，我写过一篇文章进行讨论，见这里：十进制转二进制 / 八进制 / 十六进制的手算方法，及其数学原理的通俗解释。

这里，我们只需要明确，二进制是存在小数形式的，且可以表示一切十进制可表示的数（的近似）。

计算机如何记录二进制的科学计数法

接着，我们步入正题：只会表示0/1的计算机，如何记录并表达浮点数呢？

给一个32位的空间，如果不做任何约束，我们只能将其理解为一个整数，并且其取值范围为 。

这是因为，计算机只能记录 0 和 1 这两个信息，并不能直接记录小数点点在哪里。因此，我们需要设置一定规则，取出一定位，用于表示小数点点在哪里。这必将牺牲一定的精度与取值范围。

因此，我们将这 32 位空间分为三部分：

• 第一部分，用于表示
  精度，即这个数字值是多少，对应上面的B；
  
• 第二部分，用于表示
  小数点，即量级，对应上面的C；
  
• 第三部分，用于表示
  正负，只需要使用1位。
  

在 IEEE 754 中，我们分别将上述一、二、三部分叫做尾数M，阶码E，符号s。于是我们有了二进制的表达式：

为了表示尽可能多的、常用的小数，我们有如下需求：

• 对于符号位 s ，如果该位上是 0 ，则为正数；为 1 ，则为负数。
  
• 对于尾数 M ，其取值范围为
  ；
  
• 对于阶码 E ，其为一个整数，并且取值范围应该包含负数、0、正数。
  

可以注意到，对于 M 、 E ，我们并不能直接用二进制表示，还需要设定一定规则。

尾数 M

假设尾数 M 一共有 f 位，则 f 可表示的整数取值范围为 ，我们称 f 直接对应的非负整数为 C 。为了将其投影到 ，我们做出如下变换：

解码 E

假设解码 E 一共有 e 位，则 e 可表示的整数取值范围为 ，我们称 e 直接对应的非负整数为 Exp 。我们希望 E 可以取到负数，因此做出如下变换：

这样，我们的 E 取值范围就来到了 。

总结

有了如上设计的规则，我们便知晓了计算机记录浮点数的方式，以及转换流程。以下图为例。

二进制转换到其对应的十进制数0.15625过程

知识点与例题

上面我们讨论了 IEEE 754 的思想，但是并不严谨，比如：

• 正负无穷该怎么表达？
  
• 如此表示会不会造成空间的浪费？
  
• …
  

因此，我们从数学上严谨地讨论一道例题，考虑一下规格化浮点数。例题源自我的汇编语言笔记。

题目

给定一个浮点格式(IEEE 754)，有k位指数和n位小数，对于下列数，写出阶码E、尾数M、小数f和值V的公式。另外，请描述其位表示。

• 数5.0；
  
• 能够被准确描述的最大奇数；
  
• 最小的正规格化数。
  

解决

前置知识一：IEEE 754

IEEE 754约定，计算机中浮点数二进制表示为：

数字形式：

• 符号：s
  
• 尾数：M，是一个位于区间[1.0, 2.0)内的小数
  
• 阶码：E
  

编码形式：

exp域：E（注意，E要进行变换，再存储在exp中）； frac域：M。

前置知识二：规格化浮点数（Normalized）

这里讨论到规格化浮点数（Normalized）：

• 满足条件：exp不全为0且不全为1。
  
• 真实的阶码值需要减去一个偏置（biased）量：
  
• 单精度数：127（Exp：1…254，E：-126…127）
  
• 双精度数：1023（Exp：1…2046，E：-1022…1023）
  
• ，e = exp的域的位数
  
• E = Exp – Bias
  
• Exp：exp域所表示的无符号数值
  
• Bias的取值：
  
• frac的第一位隐含1：M = 1.xxx…x_2
  
• 因此第一位的“1”可以省去，xxx…x：bits of frac
  
• Minimum when 000…0 (
  )
  
• Maximum when 111…1 (
  )
  

前置工作一：整理变量关系

则E为

E最大值为 。（为什么不是 呢？因为有规定：exp全部取1为“非规格化浮点数”，因此规格化浮点数中exp不能全部取1，顶多为(1)*(0)）

E的最小值为 。（为什么不是 呢？因为有规定：exp全部取0为“非规格化浮点数”，因此规格化浮点数中exp不能全部取0，顶多为(0)*(1)）

前置工作二：总结特性

抛开例题，来看一个例子：

• 8位浮点数表示：exp域宽度为4 bits，frac域宽度为3 bits。则，其偏置量的值为2^(4-1) – 1 = 7.
  
• 其他规则符合IEEE 754规范。
  

取值范围如下表。

可以看出，假设frac有f位，则M可视为：

其中，C是整数，由frac决定，即 ；

并且C满足 。

则浮点数V的十进制即为：

也可写作 ：

其中， 、 分别为exp、frac位数，为常数。

解决问题一：数0.5

较为简单，直接解决如下。

0.5   // 转换为二进制 ==>
0.1   // 移动小数点，使其在最左边的1之后
M  = 1.0 // 小数点后的数字存储在frac中
E = -1 // 因为是左移
frac= 0* // 共n位
exp = E + Bias
 = -1 + (2^(e-1) - 1)

则，位的描述为：

解决问题二：能够被准确描述的最大奇数

根据前置工作二，可以看出，对于规格化浮点数可化简为：

现在的任务有两个：

• 是整数，不能有小数（则
  应大于等于
  ）；
  
• 是奇数（
  不是奇数，因此使
  为奇数，则
  取1，则取
  ）。
  

下面分类讨论：

情况一：E可以取到f时，

即 时，

取 ， 取其能取的最大奇数，对应的二进制为： exp：dec2bin( )，frac：1*（frac全为1）

这种情况不可能，因为E取不到f，则很多整数都不能表示。

解决问题三：最小的正规格化数

观察：

则 取 ， 、 分别取最小。

由前置工作一， 取 ， 取，对应的二进制为： exp：0*1，frac：0*

后记：我第一学习浮点数是在2019年年末，当时对于浮点数的笔记和理解是有问题的。在此感谢一位湖南大学的朋友（公众号 / CSDN：梓酥），给我发邮件，指出我的问题~